贝叶斯思维
一个问题，你会换吗？
公司的年会上，贴心的公司准备了一个压轴抽奖节目，全场就你最幸运，上台代表全体打工人抽奖，你抽中什么，全体打工人都一人一份。
主持人给你安排了三道门在面前，你和打工人们都看不到门后面是什么。
这时候，主持人说：有一道门后面写着：一人十万元奖金，剩下两道门后面写着：春节继续无偿加班 7 天的通知，赶紧选一个吧！
你当然知道，1、2、3 号门内，选到十万块的概率均等，都是 1/3。于是你点兵点将选到了 1 号门。
这时候，主持人把 2 号门打开了，门后是“春节继续无偿加班 7 天”的通知。主持人神秘一笑，问你这个天选打工人：给你个机会，放弃 1 号门，选 3 号门，你换不换？
你想想，你要换门吗？直觉告诉我们，每道门概率是一样的，换不换都一样。如果要换的话，万一十万元大奖在 1 号门后面怎么办？大家会骂死我。如果没换，也有可能大奖在 3 号门后，也许一开始就错了。真是纠结啊！人生这样的纠结时刻肯定很多，要是有办法能让我们少一些纠结就好了！
有！那就是贝叶斯思维，帮我们做出更加理性和不后悔的选择。
现在，台上的你突然贝叶斯附体，你开动你的脑袋瓜，理性思考换不换门的问题。
你现在换不换门，和一开始选择的时候选哪个门，有什么不同呢？最大的不同就是主持人已经打开了 2 号门，而且后面还是天煞的加班。这是一个重要且唯一的证据，你要好好利用。
现在你对自己说：当我知道了主持人打开 2 号门，而且背后是天煞的加班，这时候 只剩 1 号门和 3 号门，那么 1 号门后面是十万块的可能性有多大？3 号门后面是十万块的可能性有多大？反正主持人打开 2 号门之前，1 和 3 号门都是 1/3。
为了思考方便，我用两个字母代替这几件事。
E=主持人打开 2 号门，而且背后是天煞的加班。E 代表 Evidence，证据。
H1=1 号门后面是十万块。
H3=3 号门后面是十万块。
这时候，观众席中有个人大声问你：为什么没有 H2 呢？要是有 H2，那不说明主持人打开了一个有奖金的门吗，现在没有发生这件事，所以没有 H2。
你要计算出在已知 E 的前提下，H1 和 H3 的概率。贝叶斯附体的你鬼使神差地 想起了自从概率论考试结束后再也没用过的贝叶斯公式：
P(H3|E)=P(E|H3)P(H3)/P(E)
等号左边，P(H3|E)就是：当我知道了主持人打开 2 号门，而且背后是天煞的加班，这时候 只剩 1 号门和 3 号门，那么 3 号门（也就是要换门的话）后面是十万块的可能性有多大？
等号右边，分子P(E|H3)P(H3)就是：如果3 号门后有十万块(表示为P(H3))，主持人打开 2 号门，而且背后是天煞的加班(表时为P(E|H3))，这事儿可能性有多大？
等号右边，分母P(E)就是：别管几号门后面有奖金，主持人打开 2 号门，而且背后是天煞的加班这事儿可能性有多大？
一个一个来算。
等号右边的分子P(H3)，就是主持人打开门之前，1 号门、2 号门、3 号门后面有奖金的可能性都是 1/3。
等号右边分子P(E|H3)，如果奖金在 3 号门，主持人他只会打开 2 号门，不会打开 1 号和 3 号门的，为什么？如果你是主持人你也会这样做。也就是说，打开2 号门且背后没有奖金的可能性是 100%，是 1。
所以等号右边的分子就是：1/3。
等号右边的分母，P(E)，这个要分三种情况讨论，最后把他们加起来就是P(E)了。1）如果 1 号门后面是奖金，这个概率有 1/3，那么主持人知道这个背景的前提下，他打开 2 号门，而且背后没有奖金的可能性就是 1/2，也就是从 2 和 3 号门随便挑一个，相乘就是 1/3*1/2=1/6；2）如果 2 号门后面有奖金，主持人根本不会打开的，所以可能性为 0；3）如果 3 号门后面有奖金，前面算分子的时候，已经算过了，是 1/3。三种情况相加就是：1/6+1/3=1/2。
按照贝叶斯显灵给你的公式，你算出来：P(H3|E)=P(E|H3)P(H3)/P(E)=2/3
同样的过程，你会算出来（其实根本不用算）这时候还坚持 1 号门，得到奖金的概率没变，还是 1/3。
对比一下，换成 3 号门，得奖的可能性就会翻倍哦！换不换？当然换！脑壳有包才不换。
这是怎么回事呢？抛开贝叶斯显灵的那一趴，冷静一项，就知道不对劲的根本原因是主持人他知道门后有啥，所以，他的选择本身蕴含了的信息量，一下子排除一个错误答案，你如果死守着所谓的“初心”，你根本享受不到这个信息量带来的红利，因为无论外界发生了什么，原来的选择不变，那么概率就还是 1/3，而外界已经变化了，3 号门就独享了剩下所有的概率空间 2/3 了。
如果上面这个问题还有点反直觉，那么我们可以想想，如果有 10 道门，主持人开了 8 道门，剩下两道门，一道是你最初选的 1 号门，另外还有一道门，你换不换？这个直觉就更明显了，肯定换，因为这时候 1 号门还有奖的概率依然是最初的 1/10，而剩下那道门有奖的概率就是 9/10 了。
好，我相信聪明的你接受了这个现状，说明你已经在用贝叶斯思维了。
呐，这就是贝叶斯思维
那么，再看看贝叶斯带来的这个公式：P(H3|E)=P(E|H3)P(H3)/P(E)。它有几个特征。
- 当我们什么都不知道时，什么都没发生时，我们心中认定的选择就是P(H3)。贝叶斯把这个叫做先验概率。
- 当有一些事实摆在面前后，我们认定的选择就不再是P(H3)，而是P(H3|E)，这也是我们最关心的，也是解除纠结的核心点。贝叶斯把这个叫做后验概率。
- 那么这个事实和我我们的选择的关系就很重要了，如果选择H3是靠谱的，眼前看到的这个事实还会存在吗？P(E|H3)就是这个意思。贝叶斯把这个叫做条件概率，就是 H3 的条件下 E 的概率。
- 可是我们不选 H3，事实也可能出现啊，不管 H3 出不出现，这个事实本身可能性大吗？P(E)就是这个意思。贝叶斯把这个叫做全概率，也就是全部情况都考虑到的情况下，发生的概率，我们从前面的抽奖例子看得出来，全概率就是各种情况下的条件概率加权求和。
所以，如果眼前的事实和选择无关，那么P(E|H3)=P(E)。这时候P(H3|E)=P(H3)。如果有关，选择靠谱的可能性就会变化。前面的抽奖例子，就非常有关，因为主持人不会选你选过的门，主持人也不会选背后有奖金的门。
我们对贝叶斯文火慢炖到现在，鸡汤味也就比较浓郁了：
贝叶斯思维，是一个强调迭代的思维。最初我们是对某些事有判断，但是当新的证据摆在面前时，我们要懂得审时度势，迭代自己的判断。一句话：贝叶斯不相信初心，只相信事实。
贝叶斯公式，看上去很简单，其实应用非常广泛。尤其是在人工智能领域，可以说无所不在，但是有更多符合实际的变化。比如说：
- 每一个事件发生的概率模型，可能不像前面开门那样是一个均匀概率模型，可能是一个更为复杂的概率模型，为了让贝叶斯公式计算出来的后验概率，在下次看到新证据时又作为先验概率使用，还会引入共轭分布的概念，为了数学上计算方便。
- 比如要把证据特征化，也就是用一堆标签来代表一个证据，而不是一个证据整体。
- 现实中，各个证据之间可能还存在一些依赖关系，这就要引入贝叶斯网络了。
今天讲的贝叶斯思维，只是介绍这种思维，但是我们完全可以进一步深入学习贝叶斯思维， 把它变成我们人生决策的工具。这里推荐一些相关的书继续了解贝叶斯思维的细节和应用：《思考，快与慢》，《贝叶斯博弈》，《信号与噪声》。以后有机会我也会再介绍细节和应用。
